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 Wahrscheinlichkeitsrechnung |
JimmyGrill 
Unerreicht in Österreich
Dabei seit: 10.10.2006
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Herkunft: München
Armeen: Geheimprojekt, ALDA!!
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| Wahrscheinlichkeitsrechnung |
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Einzelwahrscheinlichkeit
Eine Einzelwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis, also bei uns meistens für einen einzelnen Würfelwurf. Unsere vereinfachende Annahme ist, dass bei einem Würfel alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Das ist bei einem realen Würfel, geworfen von einer realen Person auf einen realen Untergrund etc. nicht erfüllt oder erfüllbar, aber eine gute Näherung.
Eine Wahrscheinlichkeit berechnet sich aus der Anzahl der günstigen (gewünschten) Fälle dividiert durch die Anzahl der möglichen Fälle (also bei einem Würfel 6). Z.B. ist die Wahrscheinlichkeit, 3+ zu würfeln 4/6 (günstige Fälle: 3,4,5 und 6, also 4 günstige Fälle) oder gekürzt 2/3. Das kann man in Prozent umrechnen indem man die Zahl, die sich durch den Bruch ergibt, mit 100 multipliziert: 2/3 ~ 0.67 = 67%. Wahrscheinlichkeiten werden meist mit P abgekürzt (für „probability“).
Damit ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(7+) = 0% (unmögliches Ereignis)
P(6+) ~ 17%
P(5+) ~ 33%
P(4+) ~ 50%
P(3+) ~ 67%
P(2+) ~ 82%
P(1+) = 100 % (sicheres Ereignis)
Damit allein kann man aber noch nicht sonderlich viel anfangen, weil fast alle Abläufe aus mehreren Würfelwürfen hintereinander bestehen. Das führt dann zu:
Kombinierte Wahrscheinlichkeiten
Da separate Würfelwürfe unabhängige Ereignisse sind (das Ergebnis eines Wurfes beeinflusst den nächsten in keiner Weise), kann man kombinierte Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten einfach multipliziert. Also 1/2 zum treffen und 2/3 zum verwunden ergibt 1/3 insgesamt.
[Kurze Erinnerung ans Bruchrechnen: beim multiplizieren wird oben („Zähler“) alles multipliziert und getrennt unten („Nenner“) auch. Steht irgendwo oben dieselbe Zahl wie irgendwo unten, kann man sie kürzen.]
Somit kann man schon die Wahrscheinlichkeit für jede Attacke ausrechnen, bei einem bestimmten Ziel Schaden zu verursachen – bei Schutzwürfen muss man einfach ein bisschen umdenken und sich die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, sie zu durchschlagen. Eine 5+ Rüstung versagt z.B. bei einem Wurf von 1,2,3 oder 4 und somit hat man eine 4/6 Chance, sie zu durchschlagen.
Beispiel: Ein Mensch schlägt auf einen Schwarzork; 4+ treffen, 5+ wunden, 5+ Rüstung: 1/2 * 1/3 * 2/3 = 1/9, also in etwa 11%. Man bräuchte im Schnitt 9 Attacken, um einen Schwarzork umzuhauen. Das Zauberwort „Schnitt“ führt auch gleich zum nächsten Punkt.
Erwartungs-/Mittelwert, Schnitt
Man hat im Normalfall nicht nur 1 Attacke, sondern mehrere. Man will dann auch wissen, was man damit anrichten wird. Wahrscheinlichkeiten sind hier nicht mehr sehr sinnvoll, bei 10 Attacken könnte man z.B. nur ausrechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeiten sind, keinen Schaden zu machen, 1 Kill, 2 Kills, 3, … etc. etc., man hätte also nach gar nicht sowenig Rechnerei eine Unmenge von Einzelergebnissen, die nicht sonderlich viel bringen.
Statt dessen rechnet man hier meistens den Erwartungswert aus – mit wie vielen Verluste im Schnitt zu rechnen ist. Man betrachtet hierzu die (oftmals lange) Würfelkette treffen, verwunden, rüsten, retten als 1 Versuch, einen Kill zu verursachen – die kombinierte Wahrscheinlichkeit für so etwas haben wir oben schon einmal berechnet. Dieser Versuch kann jetzt scheitern oder nicht, es gibt also nur 2 mögliche Ergebnisse. Daher, und weil die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch gleich bleibt, ist das eine Binomialverteilung.
Das muss einen jetzt nicht weiter beunruhigen, denn es heißt für uns nur, dass man den Schnitt sehr einfach ausrechnen kann, nämlich: Wahrscheinlichkeit für einen Kill mal Anzahl der Versuche (Attacken, Schüsse, …). Wenn man also eine Kill-Wahrscheinlichkeit von 1/9 hat wie oben und 10 Attacken aufbringen kann, verursacht man damit im Schnitt 10/9 oder ca. 1,11 Verluste.
Das ist das Endergebnis der ganzen Rechnung, und erlaubt einem zumindest einmal eine Abschätzung, was z.B. in der kommenden NK-Phase passieren wird. Man sollte aber unbedingt noch folgendes wissen:
Streuung, Standardabweichung
Der Schnitt ist nur eine gemittelte Zahl, und wird immer streuen, also variieren. Sprich, es ist nicht Schnitt, ständig Schnitt zu würfeln. Wenn man z.B. einen Schnitt von 4 Kills hat, ist die Wahrscheinlichkeit für 3 oder 5 Kills meistens kaum geringer als für 4. Diese Streuung nennt man Standardabweichung, und sie berechnet sich ebenso aus der Killwahrscheinlichkeit p und der Anzahl der Versuche, nämlich die Wurzel aus der Anzahl der Versuche mal p mal (1 - p). Das ist im Normalfall zu kompliziert zu berechnen und wird eigentlich nicht gemacht. Man sollte sich nur vor Augen halten, dass es das gibt – der Schnitt ist immer nur ein Richtwert.
Zum Beispiel oben, p=1/9, 10 Attacken, ergibt Wurzel aus 10 * 1/9 * 8/9 ~ 0.99. Das bedeutet, dass unser Schnitt von ca. 1 Kill um ca. 1 schwankt, also 0 Kills oder 2 Kills sind ebenso sehr wahrscheinlich. Ganz grob gemittelt kann man sagen, im Bereich von 1-10 Attacken streut der Schnitt um ca. 1, zwischen 10 und 20 Attacken streut der Schnitt um 2, etc. Aber wie gesagt, nur ganz grob.
Die Standardabweichung selbst ist auch nur eine Abschätzung, denn die Wahrscheinlichkeit für unwahrscheinliche Ergebnisse ist nie ganz null, und somit kann auch alles passieren. Wenn man sich aber an den Schnitt hält, wird man auf lange Sicht davon profitieren, auch wenn es regelmäßige Ausreißer gibt.
Runden, Kopfrechnen
Da man selten einen Taschenrechner bei sich hat (ist auch gar nicht Sinn der Sache – man braucht nur eine schnelle, grobe Abschätzung, kein exaktes Ergebnis), sollte man ein paar Vereinfachungsregeln benutzen:
2/3 * 2/3 ~ 1/2 (3+ und 3+ ~ 4+)
2/3 * 5/6 ~ 1/2 (3+ und 2+ ~ 4+)
5/6 * 5/6 ~ 2/3 (2+ und 2+ ~ 3+)
Und das Ergenis auch immer recht grob runden. Ein Erwartungswert von 2/9 oder 0,22 bedeutet z.B., dass man davon ausgehen sollte, keinen Schaden zu machen, etc.
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Unerreicht in Österreich.
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09.04.2010 17:48 |
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morgar
Chaosritter
Dabei seit: 23.07.2005
Beiträge: 105
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Hier ein "Schummelzettel" für Würfe mit 2W6 (Moralwerttests)
Würfe auf "+" (also Zahl oder mehr z.B. Komplexitäten von Zauber mit 2W6):
2: 100,0%
3: 97,2%
4: 91,7%
5: 83,3%
6: 72,2%
7: 58,3%
8: 41,7%
9: 27,8%
10: 16,7%
11: 8,3%
12: 2,8%
Würfe auf "-" (also MW Test schaffen oder auf Zahl oder weniger):
nur bis 10 da MW 10 das Maximum im Spiel darstellt)
2: 2,8%
3: 8,3%
4: 16,7%
5: 27,8%
6: 41,7%
7: 58,3%
8: 72,2%
9: 83,3%
10: 91,7%
Anmerkung:
Man bemerkt den großen Sprung zwischen 7 und 6. Der MW Unterschied zwischen Mensch und Goblin ist also größer als der zwischen Goblin und Nachtgoblin.
Der Sprung zwischen 8 und 9 beträgt immerhin noch knapp 10%. Vielleicht eine Überlegung wert wenn man zwischen Baummensch und Baumältesten entscheiden muss.
Streuungen wurden nicht berechnet.
lg
Feiti
P.S. Die eifrigen dürfen die Tabelle jetzt für die Echsenmenschen (3W6 bei dem das höchste Ergebnis gestrichen wird) ausrechnen.
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12.04.2010 12:02 |
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JimmyGrill
Unerreicht in Österreich
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Themenstarter 
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Wahrscheinlichkeit und Magie
Bekanntlich steigt ja die Wahrscheinlichkeit für Patzer und Totale Energie, je mehr Würfel man verwendet. Wie hoch genau diese Wahrscheinlichkeiten sind, ist unten aufgeführt:
Patzer:
2W6: 02.78% ~ 3%
3W6: 07.41% ~ 7%
4W6: 13.19% ~ 13%
5W6: 19.62% ~ 20%
Totale Energie:
2W6: 02.78% ~ 3%
3W6: 07.41% ~ 7%
4W6: 12.73% ~ 13%
5W6: 17.95% ~ 18%
Wie man sehen kann, ist die Wahrscheinlichkeit für Patzer bei mehreren W6 immer etwas höher, da ein gleichzeitiges Doppel-1 und Doppel-6 immer als Patzer zählt.
Als nächstes betrachten wir, mit wievielen W6 man Sprüche mit unterschiedlichen Komplexitäten sprechen sollte – selbiges gilt natürlich auch fürs Bannen.
3+: 1W6 (67%), 2W6 (97%)
4+: 1W6 (50%), 2W6 (92%)
5+: 1W6 (33%), 2W6 (83%), 3W6 (93%)
6+: 1W6 (17%), 2W6 (72%), 3W6 (91%)
7+: 2W6 (58%), 3W6 (88%)
8+: 2W6 (42%), 3W6 (82%), 4W6 (86%)
9+: 2W6 (28%), 3W6 (74%), 4W6 (85%)
10+: 2W6 (17%), 3W6 (63%), 4W6 (83%)
11+: 2W6 (8%), 3W6 (50%), 4W6 (79%), 5W6 (80%)
12+: 2W6 (3%), 3W6 (38%), 4W6 (73%), 5W6 (79%)
Das bedeutet, dass man eigentlich immer mindestens 2W6 werfen sollte, sogar bei der Mindestkomplexität 3+ wirft man sonst jeden 3. Würfel einfach weg. Der Wechsel von 2W6 auf 3W6 sollte bei 6+ passieren, spätestens jedoch bei 7+. Der nächste Grenzfall ist 9+, was man eigentlich schon mit 4W6 probieren sollte, 3W6 geht auch gerade noch. 5W6 braucht man eigentlich erst ab 12+ oder sogar erst darüber.
Das führt zur leicht merkbaren Formel „6-9-12“, das sind die Komplexitäten, bei (oder nach) denen jeweils der Sprung stattfinden sollte auf einen Würfel mehr.
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Unerreicht in Österreich.
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19.04.2010 12:16 |
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